چگونه می توان با استفاده از هندسه مختصات ، محور نیمه بیضی را محاسبه کرد؟

سلام! من تأمین کننده هستمنیمی، و امروز می خواهم در مورد نحوه محاسبه نیمه محور یک بیضی با استفاده از هندسه مختصات گپ بزنم. ممکن است در ابتدا کمی فنی به نظر برسد ، اما به من اعتماد کنید ، آنقدر پیچیده نیست که به نظر می رسد.

بیضی چیست؟

قبل از اینکه به محاسبات شیرجه بزنیم ، بیایید به سرعت آنچه بیضی است را طی کنیم. بیضی یک منحنی بسته در یک هواپیما است که در آن جمع مسافت از هر نقطه روی منحنی تا دو نقطه ثابت (به نام کانونه) ثابت است. شما می توانید از آن به عنوان یک دایره خرد شده فکر کنید. دارای دو محور است: محور اصلی ، که طولانی ترین قطر بیضی و محور جزئی است که کوتاهترین قطر است. محور نیمه اصلی (A) و محور نیمه جزئی (B) به ترتیب نیمی از محورهای اصلی و جزئی هستند.

معادله استاندارد یک بیضی

معادله استاندارد یک بیضی با محوریت مبدا ((0/0)) در هواپیمای مختصات بسته به جهت گیری آن به دو شکل ارائه می شود.

بیضوی افقی

اگر محور اصلی در امتداد محور x باشد ، معادله استاندارد بیضی است (\ frac {x^{2}} {a^{2}+\ frac {y^{2}}} {b^{2}} = 1) ، جایی که (a> b> 0). در اینجا ، (الف) محور نیمه اصلی و (ب) محور نیمه جزئی است.

بیضوی عمودی

اگر محور اصلی در امتداد محور y باشد ، معادله استاندارد (\ frac {x^{2}} {b^{2}+\ frac {y^{2} {a^{2}} = 1) است ، جایی (a> b> 0). باز هم ، (الف) محور نیمه اصلی و (ب) محور نیمه جزئی است.

محاسبه نیمه - محورها از معادله

بیایید بگوییم که شما معادله بیضی را دارید. به عنوان مثال ، معادله را در نظر بگیرید (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1). از آنجا که مخرج زیر (x^{2}) بزرگتر است ((25> 9)) ، محور اصلی در امتداد محور x است.

ما می دانیم که فرم استاندارد یک بیضی افقی (\ frac {x^{2}} {a^{2}+\ frac {y^{2} {b^{2}} = 1) است. مقایسه (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1) با فرم استاندارد ، می توانیم ببینیم که (a^{2} = 25) و (b^{2} = 9).

برای یافتن (الف) و (ب) ، ریشه مربع مقادیر مربوطه را می گیریم. بنابراین ، (a = \ sqrt {25} = 5) و (b = \ sqrt {9} = 3). در اینجا ، (A = 5) محور نیمه اصلی است و (B = 3) محور نیمه جزئی است.

اگر معادله ای داشتیم مانند (\ frac {x^{2}} {4}+\ frac {y^{2}} {16} = 1) ، از آنجا که مخرج زیر (y^{2}) بزرگتر است ((16> 4)) ، محور اصلی در امتداد محور y است.

مقایسه با فرم استاندارد (\ frac {x^{2}} {b^{2}+\ frac {y^{2} {a^{2}} = 1) ، ما (b^{2} = 4) و (a^{2} = 16). با گرفتن ریشه های مربع ، (B = 2) و (A = 4) دریافت می کنیم. بنابراین ، محور نیمه اصلی (A = 4) و محور نیمه جزئی (B = 2).

محاسبه نیمه - محورها از نقاط بیضی

بعضی اوقات ، ممکن است به طور مستقیم معادله بیضی به شما داده نشود ، بلکه برخی از نکات در بیضی است. بیایید فرض کنیم ما یک بیضی با محوریت مبدا داریم و دو نقطه ((x_1 ، y_1)) و ((x_2 ، y_2)) را در بیضی می شناسیم.

برای یک بیضوی افقی (\ frac {x^{2}} {a^{2}+\ frac {y^} {b^{2}} = 1) ، اگر ما نقاط را جایگزین کنیم ((x_1 ، y_1)) و ((x_1 ، y_1)) و ((x_1 ، y_1)) و ((x_1 ، y_1)) و ((x_1 ، y_1)) و ((x_1 ، y_1)) و ((x_1 ، y_1)) و ((x_1 ، y_1)) و ((x_1 ، y_1)) و ((x_1 ، y_1)) و (x_2 ، y_2))

(\ frac {x_ {1}^{2}} {a^{2}+\ frac {y_ {1}^{2}} {b^{2}} = 1) و (\ frac {x_ {2}^{2}} {a^{2}+\ frac {y_ {2}^{2}} {b^{2}} = 1)

اجازه دهید (u = \ frac {1} {a^{2}}) و (v = \ frac {1} {b^{2}}). سپس معادلات تبدیل می شوند (x_ {1}^{2} u + y_ {1}^{2} v = 1) و (x_ {2}^{2} u + y_ {2}^{2} v = 1)

ما می توانیم با استفاده از روش هایی مانند جایگزینی یا حذف ، این سیستم معادلات خطی را برای (u) و (v) حل کنیم. هنگامی که ما (u) و (v) داریم ، می توانیم (a = \ frac {1} {\ sqrt {u}}) و (b = \ frac {1} {\ sqrt {v}}) پیدا کنیم.

به عنوان مثال ، اگر نقاط (3،0)) و ((0،2)) را در بیضی داشته باشیم.

جایگزین کردن ((3،0)) به (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1) :

جایگزین کردن ((0،2)) به (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1) ، می گیریم :

برنامه های کاربردی در زندگی واقعی

محاسبه نیمی از محورهای یک بیضی دارای بسیاری از برنامه های زندگی واقعی است. در نجوم ، مدار سیارات اطراف خورشید بیضوی است. اخترشناسان با محاسبه نیمه محورهای این مدارها می توانند موقعیت سیارات را در زمان های مختلف پیش بینی کنند.

در مهندسی ، از اشکال بیضوی در طراحی سازه هایی مانند قوس و گنبدها استفاده می شود. دانستن محورها به تعیین ابعاد و قدرت این ساختارها کمک می کند.

چرا محورهای نیمه ما را انتخاب می کنیم؟

به عنواننیمیتأمین کننده ، ما اهمیت مؤلفه های با کیفیت بالا را درک می کنیم. محورهای نیمه ما از مواد بالای سطح ساخته شده و از دوام و دقت اطمینان حاصل می کنند. ما همچنین طیف گسترده ای از اندازه ها را برای پاسخگویی به نیازهای خاص شما ارائه می دهیم.

چه در حال کار بر روی یک پروژه مقیاس کوچک یا یک کاربرد بزرگ صنعتی باشید ، محورهای نیمه ما به این کار بستگی دارند. و اگر به اجزای مرتبط نیز احتیاج دارید ، ما نیز تأمین می کنیممونتاژ دنده حلقهکه به گونه ای طراحی شده اند که یکپارچه با محورهای نیمه ما کار کنند.

اگر به محصولات ما علاقه دارید ، دوست داریم در مورد نیازهای شما با شما گپ بزنیم. احساس راحتی کنید و یک بحث تهیه را شروع کنید. ما در اینجا هستیم تا مطمئن شویم که بهترین مؤلفه ها را برای پروژه های خود دریافت می کنید.

منابع

• آنتون ، هوارد. "حساب: متعالیه های اولیه." ویلی ، 2012.
• لارسون ، رون. "حساب." Cengage Learning ، 2018.